ધારો કે r એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને n in N એવ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $2x^2+2x+1$ એ $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે, તેથી $2x^2+2x+1=0$ ના બીજ $(x+1)^n-r=0$ ને સંતોષવા જોઈએ.$2x^2+2x+1=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$(4000, \frac{1}{4^{1000}})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $2x^2+2x+1$ એ $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે, તેથી $2x^2+2x+1=0$ ના બીજ $(x+1)^n-r=0$ ને સંતોષવા જોઈએ.$2x^2+2x+1=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.$x = \frac{-1+i}{2}$ ને $(x+1)^n = r$ માં મૂકતા:$(\frac{-1+i}{2} + 1)^n = r \Rightarrow (\frac{1+i}{2})^n = r$.$\frac{1+i}{2}$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $\frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4}$.તેથી, $(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4})^n = r \Rightarrow \frac{1}{2^{n/2}} e^{in\pi/4} = r$.કારણ કે $r$ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ, તેથી $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $n$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.$n=4000$ માટે, $r = \frac{1}{2^{4000/2}} \cos(\frac{4000\pi}{4}) = \frac{1}{2^{2000}} \cos(1000\pi) = \frac{1}{2^{2000}} = \frac{1}{4^{1000}}$.આમ, $(n, r) = (4000, \frac{1}{4^{1000}})$.

ધારો કે $r$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $n \in N$ એવા છે કે બહુપદી $2x^2+2x+1$ એ બહુપદી $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે. તો, $(n, r)$ શું હોઈ શકે?

Similar Questions

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x+\frac{4}{x}=2 \sqrt{3}$ ના બીજ હોય,તો $\frac{2}{\sqrt{3}}\left|\alpha^{2024}-\beta^{2024}\right|=$

જો $|Z|=2$, $Z_1=\frac{Z}{2} e^{i \alpha}$ અને $\theta$ એ $\operatorname{amp}(Z)$ હોય, તો $\frac{Z_1^n-Z_1^{-n}}{Z_1^n+Z_1^{-n}}=$

$\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} $ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha$ એ $x^7=1$ નું અવાસ્તવિક બીજ હોય,તો $\alpha(1+\alpha)(1+\alpha^2+\alpha^4) = $

${\left[ {\frac{{1 + \cos (\pi /8) + i\sin (\pi /8)}}{{1 + \cos (\pi /8) - i\sin (\pi /8)}}} \right]^8}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module