ધારો કે R એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. f: | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) + f(2x) = 0$ છે,જે તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે. $x = 0$ મૂકતા,આપણને $f(0) + f(0) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2f(0) = 0$,

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) + f(2x) = 0$ છે,જે તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે. $x = 0$ મૂકતા,આપણને $f(0) + f(0) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2f(0) = 0$,તેથી $f(0) = 0$. આપેલ સમીકરણ પરથી,$f(x) = -f(x/2)$. આ સંબંધનું પુનરાવર્તન કરતા,આપણને $f(x) = -f(x/2) = f(x/4) = -f(x/8) = \dots = (-1)^n f(x/2^n)$ મળે છે. કારણ કે $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{n 	o \infty} f(x/2^n) = f(\lim_{n 	o \infty} x/2^n) = f(0) = 0$. આમ,$f(x) = \lim_{n 	o \infty} (-1)^n f(x/2^n) = 0$. તેથી,શરતનું પાલન કરતું એકમાત્ર સતત વિધેય શૂન્ય વિધેય $f(x) = 0$ છે. આમ,આવા માત્ર $1$ વિધેય શક્ય છે.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $f: R \rightarrow R$ એવા કેટલા સતત વિધેયો છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) + f(2x) = 0$ થાય?

Similar Questions

જો $f(a) = a^2 + a + 1$ હોય,તો સમીકરણ $f(a^2) = 3f(a)$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $f(x)$ એ વિકલનીય વિધેય હોય કે જેથી તમામ $x, y > 0$ માટે $f(xy) = f(x) + f(y)$ થાય,તો $f(e) + f(1/e) = ?$

જો $f(1)=0$ અને $f(n+1)-f(n)=5n$ તમામ $n \in N$ માટે હોય, તો $f(n)=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module