मान लीजिए N वह संख्या है जो एक निष्पक्ष पासा | vedclass

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Question

(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:$x+y+z=1$$2x+Ny+2z=2$$3x+3y+Nz=3$प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta 
eq 0$ हो

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$20$

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(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:$x+y+z=1$$2x+Ny+2z=2$$3x+3y+Nz=3$प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta 
eq 0$ हो।$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & N & 2 \ 3 & 3 & N \end{vmatrix}$पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = 1(N^2 - 6) - 1(2N - 6) + 1(6 - 3N)$$\Delta = N^2 - 6 - 2N + 6 + 6 - 3N$$\Delta = N^2 - 5N + 6 = (N-2)(N-3)$अद्वितीय हल के लिए,$\Delta 
eq 0$,जिसका अर्थ है $N 
eq 2$ और $N 
eq 3$।चूंकि $N$ एक निष्पक्ष पासे का परिणाम है,$N \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।$N$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$\{1, 4, 5, 6\}$ हैं।ऐसे $4$ मान हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है,जिससे $k = 4$ प्राप्त होता है।$k$ और $N$ के उन सभी संभावित मानों का योग जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$4 + (1 + 4 + 5 + 6) = 4 + 16 = 20$ है।

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$\left| \begin{array}{ccc} 2 \sin \frac{\pi}{3} & 1 & 0 \\ 1 & 2 \sin \frac{\pi}{3} & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos \frac{\pi}{6} \end{array} \right| = $ . . . . . .

यदि $A = \begin{bmatrix} 2-k & 2 \\ 1 & 3-k \end{bmatrix}$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है,तो $5k - k^2$ का मान किसके बराबर है?

यदि आव्यूह $\begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ \lambda & -3 & 0 \end{bmatrix}$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है,तो $\lambda = $

$ \left|\begin{array}{cc}\cos 15^{\circ} & \sin 15^{\circ} \\ \sin 75^{\circ} & \cos 75^{\circ}\end{array}\right| $ का मान ज्ञात कीजिए।

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