ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણ $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ નું બીજ છે,જ્યાં $a, b, c$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{bmatrix}$ અસામાન્ય (singular) છે. તો $\frac{(a-c)^2}{(b-a)(c-b)} + \frac{(b-a)^2}{(a-c)(c-b)} + \frac{(c-b)^2}{(a-c)(b-a)}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Q = \begin{bmatrix} x & y \\ z & 4 \end{bmatrix}$ અમુક શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x, y$,અને $z$ માટે છે,જેના માટે $2 \times 2$ શ્રેણિક $R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના તમામ ઘટકો શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેથી $QR = RP$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $|A|=6$ જ્યાં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે. જો $|adj(3adj(A^{2} \cdot adj(2A)))|=2^{m} \cdot 3^{n}$, $m, n \in N$ હોય, તો $m+n$ ની કિંમત શોધો:

$3 \times 3$ શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા નથી?

ધારો કે $\omega$ એક એવી સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $2\omega + 1 = z$ જ્યાં $z = \sqrt{-3}$ છે. જો $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\omega^2 - 1 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^7 \end{array} \right| = 3k$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = A - I$. જો $\omega = \frac{\sqrt{3}i - 1}{2}$ હોય, તો ગણ $\{n \in \{1, 2, \ldots, 100\} : A^n + (\omega B)^n = A + B\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા $..........$ છે.