ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક વિધેય છે જે $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1}$ છે. તો

ધારો કે વિધેયો $f$ અને $g$ એ $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow R$ જ્યાં $f(x) = \sin x$ અને $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow R$ જ્યાં $g(x) = \cos x$ છે,જ્યાં $R$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(I)$: $f$ અને $g$ એક-એક (one-one) છે.
વિધાન $(II)$: $f+g$ એક-એક (one-one) છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\mathbb{N}$ થી $\mathbb{N}$ પરનું એક મેપિંગ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ જ્યાં $f(n) = (n+5)^2$ દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે (જ્યાં $\mathbb{N}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે). તો:

વિધેયો $f: \{1, 2, \ldots, 100\} \rightarrow \{0, 1\}$ ની સંખ્યા,જે $98$ કે તેથી નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાંથી બરાબર એક સંખ્યાને $1$ સાથે જોડે છે,તે $\qquad$ જેટલી છે.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણ $A$ અને $B$ માટે,$f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $x \in A$. સ્તંભ-$I$ ની વસ્તુઓને સ્તંભ-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો	$1$. $A = R^{+}, B = R$
$B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો	$2$. $A = B = R$
$C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો	$3$. $A = R, B = R^{+}$
$D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો	$4$. $A = B = R^{+}$

સાબિત કરો કે વિધેય $f: N \rightarrow N$,જે $f(1)=f(2)=1$ અને દરેક $x>2$ માટે $f(x)=x-1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે વ્યાપ્ત છે પરંતુ એક-એક નથી.