मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) है। यदि $a_7 = 3$ है,गुणनफल $a_1 a_4$ न्यूनतम है और इसके प्रथम $n$ पदों का योग शून्य है,तो $n! - 4 a_{n(n+2)}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $a, b, c > 1$ है। यदि $a^3, b^3, c^3$ एक $A.P.$ में हैं और $\log_a b, \log_c a, \log_b c$ एक $G.P.$ में हैं,और एक $A.P.$ के पहले $20$ पदों का योग,जिसका पहला पद $\frac{a+4b+c}{3}$ और सार्व अंतर $\frac{a-8b+c}{10}$ है,$-444$ है,तो $abc$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $\alpha = \sum_{n=101}^{200} 2^n \sum_{k=101}^n \frac{1}{k !}$ और $b = \sum_{n=101}^{200} \frac{2^{201}-2^n}{n !}$ है। तब,$\frac{a}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $e^{(\cos^{2} x + \cos^{4} x + \cos^{6} x + \dots \infty) \log_{e} 2}$ समीकरण $t^{2} - 9t + 8 = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\frac{2 \sin x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\log_x y, \log_z x, \log_y z$ एक $G.P.$ में हैं,$xyz = 64$ है,और $x^3, y^3, z^3$ एक $A.P.$ में हैं,तो

मान लीजिए $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ एक समांतर श्रेणी में हैं,जहाँ $x_1 = 2$ और उनका माध्य $200$ है। यदि $y_i = i(x_i - i), 1 \leq i \leq 100$ है,तो $y_1, y_2, \ldots, y_{100}$ का माध्य ज्ञात कीजिए।