मान लीजिए $P$ एक वर्ग आव्यूह है ताकि $P^2 = I - P$ हो। $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in N$ के लिए,यदि $P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29 P$ और $P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13 P$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma - \delta$ का मान $........$ है।

मान लीजिए $M$ पूर्णांक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ सममित आव्यूह है। तो $M$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है यदि:

माना $p$ एक विषम अभाज्य संख्या है और $T_p$ निम्नलिखित $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय है:
$T_p = \left\{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix} : a, b, c \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \right\}$
$1.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो या तो सममित हैं या विषम-सममित हैं या दोनों हैं,और $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका ट्रेस $p$ से विभाज्य नहीं है लेकिन $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
$3.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका $\det(A)$,$p$ से विभाज्य नहीं है:
$(A) 2p^2$ $(B) p^3-5p$ $(C) p^3-3p$ $(D) p^3-p^2$

$-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$ को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों $x$ की संख्या क्या है?

माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & k \end{bmatrix}$ और $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$ है। यदि $A$,$f(A) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो:

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$ का मान क्या है?