ધારો કે $P=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$,$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ અને $Q=PAP^{T}$ છે. જો $P^{T}Q^{2007}P=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ હોય,તો $2a+b-3c-4d$ ની કિંમત શોધો.

જો $A$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોય,જેથી $A^2=A$ થાય,તો $(I+A)^3$ ની કિંમત શું થાય?

સમીકરણ $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^2}y}&{{x^2}z}\\{x{y^2}}&{{y^3} + 1}&{{y^2}z}\\{x{z^2}}&{y{z^2}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ સમાન સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ ($A$.$P$.) છે અને તેમના પ્રથમ પદો અનુક્રમે $A, A+1, A+2$ છે. ધારો કે $a, b, c$ એ $A_1, A_2, A_3$ ના અનુક્રમે $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ પદો છે,જેથી $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ થાય. જો $a=29$ હોય,તો જેનું પ્રથમ પદ $c-a-b$ અને સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12}$ હોય તેવી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $........$ છે.

ધારો કે $A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે,જેથી $A^{T} = \alpha A + I$,જ્યાં $\alpha \in R - \{-1, 1\}$ છે. જો $\det(A^2 - A) = 4$ હોય,તો $\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો શ્રેણિક $D_1 = \operatorname{diag}(a, b, c)$,શ્રેણિક $D_2 = \operatorname{diag}(3, 3, 3)$ અને $A$ એ $3$ જી કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક હોય,તો $\operatorname{Tr}(D_1 D_2 A + D_1 D_2 + D_1 A + D_2 A) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2) =$