मान लीजिए कि f:(-2,2) rightarrow mathbb{R} को | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।$-2 < x < -1$ के लिए,$[x] = -2$,अतः

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$4$

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(D) फलन $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 $-2 $-1 \leq x $0 \leq x $1 \leq x अब $g(x) = |f(x)|$ पर विचार करें:$g(x) = \begin{cases} |-2x| = -2x & , -2 सांतत्य की जाँच:$x = -1$ पर: $LHL = \lim_{x 	o -1^-} (-2x) = 2$,$RHL = \lim_{x 	o -1^+} (-x) = 1$. $x = -1$ पर असंतत है।$x = 0$ पर: $LHL = \lim_{x 	o 0^-} (-x) = 0$,$RHL = f(0) = 0$. $x = 0$ पर संतत है।$x = 1$ पर: $LHL = \lim_{x 	o 1^-} (0) = 0$,$RHL = f(1) = 1-1 = 0$. $x = 1$ पर संतत है।अतः,$m = 1$ (असंतत बिंदु $x = -1$ है)।अवकलनीयता की जाँच:$x = -1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।$x = 0$ पर: $LHD = \frac{d}{dx}(-x) = -1$,$RHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$. अवकलनीय नहीं है।$x = 1$ पर: $LHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$,$RHD = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$. अवकलनीय नहीं है।अतः,$n = 3$ (अवकलनीय न होने वाले बिंदु $x = -1, 0, 1$ हैं)।इसलिए,$m + n = 1 + 3 = 4$.

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माना $f(x) = x|x|$,$g(x) = \sin x$ और $h(x) = (g \circ f)(x)$ है। तब

यदि $y = \frac{\tan x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$ है, तो $x = 0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{जब } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{जब } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{जब } 1 < x < \infty \end{cases}$
तो $x=1$ पर,$f$ है:

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