मान लीजिए f :[2,4] rightarrow R एक अवकलनीय फल | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दी गई असमिका: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$ है।इसे $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए $

Vedclass · Accepted Answer

कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(C) दी गई असमिका: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$ है।इसे $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए $g(x) = x \ln x \cdot f(x) - x$ है। तब $g'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) - 1 \geq 0$ है।अतः,$g(x)$ अंतराल $[2,4]$ पर एक वर्धमान फलन है।अंत बिंदुओं पर मान:$g(2) = 2 \ln 2 \cdot f(2) - 2 = 2 \ln 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \ln 2 - 2$ है।$g(4) = 4 \ln 4 \cdot f(4) - 4 = 4 \ln 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 = \ln 4 - 4 = 2 \ln 2 - 4$ है।चूंकि $g(x)$ वर्धमान है,इसलिए $x \in [2,4]$ के लिए $g(2) \leq g(x) \leq g(4)$ होगा।$\ln 2 - 2 \leq x \ln x \cdot f(x) - x \leq 2 \ln 2 - 4$ है।$x$ जोड़ने और $x \ln x$ से भाग देने पर:$\frac{\ln 2 - 2}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x} \leq f(x) \leq \frac{2 \ln 2 - 4}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x}$ प्राप्त होता है।$x \in [2,4]$ के लिए,ऊपरी सीमा $\leq \frac{2 \ln 2 - 4}{2 \ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{1}{\ln 2} $x \in [2,4]$ के लिए,निचली सीमा $\geq \frac{\ln 2 - 2}{4 \ln 4} + \frac{1}{\ln 4} = \frac{\ln 2 - 2}{8 \ln 2} + \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{\ln 2 - 2 + 4}{8 \ln 2} = \frac{\ln 2 + 2}{8 \ln 2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4 \ln 2} > \frac{1}{8}$ है। अतः,$(B)$ सत्य है।

Similar Questions

$10$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करें कि पहले भाग का दोगुना और दूसरे भाग का वर्ग का योग न्यूनतम हो।

यदि $[0, 2]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3$ के निरपेक्ष अधिकतम और निरपेक्ष न्यूनतम मान क्रमशः $M$ और $m$ हैं, तो $M + m =$ क्या होगा?

$x > -2$ के लिए $f(x) = x + \frac{4}{x + 2}$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि दो संख्याओं का योग $3$ है,तो पहली संख्या और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का अधिकतम मान क्या होगा?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module