मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (1-x^2 y^2) dx = | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ है।हम जानते हैं कि $d(xy) = y dx + x dy$ होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1

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$\frac{3 e^2-1}{2(3 e^2+1)}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ है।हम जानते हैं कि $d(xy) = y dx + x dy$ होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1-(xy)^2) dx = d(xy)$ प्राप्त होता है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dx = \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$।सूत्र $\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + C$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+xy}{1-xy} \right| + C$ प्राप्त होता है।$y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर $1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2}{1-2} \right| + C$,जिससे $1 = \frac{1}{2} \ln 3 + C$,जिसका अर्थ है $C = 1 - \frac{1}{2} \ln 3$।अब,$x=2$ और $y=\alpha$ के लिए,$2 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right| + 1 - \frac{1}{2} \ln 3$।$1 + \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$,जो सरल होकर $2 + \ln 3 = \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$ बन जाता है।दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$3e^2 = \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$।स्थिति $1$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = 3e^2 \implies 1+2\alpha = 3e^2 - 6e^2\alpha \implies \alpha(2+6e^2) = 3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2-1}{2(3e^2+1)}$।स्थिति $2$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = -3e^2 \implies 1+2\alpha = -3e^2 + 6e^2\alpha \implies \alpha(2-6e^2) = -3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2+1}{2(3e^2-1)}$।

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