मान लीजिए P अतिपरवलय H: frac{x^2}{9}-frac{y^2 | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ है।यहाँ,$a^2=9$ और $b^2=4$ है।उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(e^2-1)$,अतः $e^2=1+\frac{b^2}{a^

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$22$

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(C) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ है।यहाँ,$a^2=9$ और $b^2=4$ है।उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(e^2-1)$,अतः $e^2=1+\frac{b^2}{a^2} = 1+\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$ है।इस प्रकार,$e=\frac{\sqrt{13}}{3}$ है।दो नाभियों $S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी $2ae = 2 	imes 3 	imes \frac{\sqrt{13}}{3} = 2\sqrt{13}$ है।मान लीजिए $P = (\alpha, \beta)$ है। $\Delta PS_1S_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (2ae) 	imes \beta = 2\sqrt{13}$ है।$2ae = 2\sqrt{13}$ रखने पर,$\frac{1}{2} 	imes (2\sqrt{13}) 	imes \beta = 2\sqrt{13}$,जिससे $\beta=2$ प्राप्त होता है।चूंकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{\beta^2}{4}=1$ है। $\beta=2$ रखने पर,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{4}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9}=2$ $\Rightarrow \alpha^2=18$ है।मूल बिंदु से $P$ की दूरी का वर्ग $OP^2 = \alpha^2+\beta^2 = 18 + 2^2 = 18+4 = 22$ है।

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