वह बिंदु जिससे अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ की दो अलग-अलग शाखाओं पर दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,लेकिन वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ पर कोई दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ नहीं खींची जा सकती हैं,वह है:

अतिपरवलय $2x^2 - 3y^2 = 6$ के बिंदु $(3, 2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

यदि $x = 9$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 9$ की स्पर्श-जीवा (chord of contact) है,तो संगत स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए $C$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का केंद्र है और $P$ उस पर एक बिंदु है। यदि $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा सरल रेखाओं $bx-ay=0$ और $bx+ay=0$ को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलती है,तो $CQ \cdot CR=$

यदि $A$ और $B$ एक समतल में दो बिंदु हैं,इस प्रकार कि $|PA - PB| = \text{स्थिरांक}$,तो $P$ का बिंदुपथ है

अतिपरवलय $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ पर विचार करें,जिसके नाभियाँ $S$ और $S_1$ हैं,जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। मान लीजिए $\angle SPS_1 = \alpha$,जहाँ $\alpha < \frac{\pi}{2}$ है। बिंदु $S$ से गुजरने वाली और अतिपरवलय के $P$ पर स्पर्शरेखा के समान ढाल वाली सीधी रेखा,$S_1P$ रेखा को $P_1$ पर काटती है। मान लीजिए $\delta$,$P$ की $SP_1$ रेखा से दूरी है और $\beta = S_1P$ है। तो $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।