मान लीजिए vec{a} और vec{b} दो सदिश इस प्रकार | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $\vec{c} = 2(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 3\vec{b}$।$\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cd

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$48$

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(D) दिया गया है $\vec{c} = 2(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 3\vec{b}$।$\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 3\vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b})) - 3|\vec{b}|^2$।चूँकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) = 0$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3|\vec{b}|^2 = -3(4)^2 = -48$।साथ ही,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \alpha = 4|\vec{c}| \cos \alpha$।अतः,$4|\vec{c}| \cos \alpha = -48 \Rightarrow |\vec{c}| \cos \alpha = -12$।अब,$|\vec{c}|^2$ की गणना करते हैं:$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{b}$।चूँकि $(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 + 9(16) = 4|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin^2 	heta + 144$।दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 	heta = 1 \cdot 4 \cdot \cos 	heta = 2 \Rightarrow \cos 	heta = 1/2 \Rightarrow \sin^2 	heta = 3/4$।$|\vec{c}|^2 = 4(1)(16)(3/4) + 144 = 48 + 144 = 192$।हमें प्राप्त होता है $|\vec{c}|^2 \cos^2 \alpha = (-12)^2 = 144$।$192 \cos^2 \alpha = 144 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 144/192 = 3/4$।तब $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 3/4 = 1/4$।अतः,$192 \sin^2 \alpha = 192 	imes (1/4) = 48$।

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