माना f: R rightarrow R इस प्रकार परिभाषित है | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ के $x=1$ पर सतत होने के लिए,$f(1^-) = f(1) = f(1^+)$ होना चाहिए।$f(1) = 1^2 + c(1) + 2 = 3+c$.$f(1^+) = \lim_{h \rightarrow 0} [2(1+h)+1] =

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$2$

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(D) $f(x)$ के $x=1$ पर सतत होने के लिए,$f(1^-) = f(1) = f(1^+)$ होना चाहिए।$f(1) = 1^2 + c(1) + 2 = 3+c$.$f(1^+) = \lim_{h \rightarrow 0} [2(1+h)+1] = 3$.अतः,$3+c = 3 \implies c = 0$.$f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ होना चाहिए।$f(0) = 0^2 + 0(0) + 2 = 2$.$f(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a-b \cos 2h}{h^2} = 2$.विस्तार $\cos 2h = 1 - 2h^2 + \frac{2}{3}h^4 - \dots$ का उपयोग करने पर:$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(a-b) + 2bh^2 - \frac{2b}{3}h^4}{h^2} = 2$.सीमा के अस्तित्व के लिए,$a-b=0 \implies a=b$. फिर $2b = 2 \implies b=1$. अतः $a=1$.अब $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:$LHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = 0$.$RHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0$.चूँकि $LHD = RHD$,$f$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।$x=1$ पर,$LHD = 2$ और $RHD = 2$ है,अतः यह वहाँ भी अवकलनीय है।इस प्रकार,$m=0$. अतः,$m+a+b+c = 0+1+1+0 = 2$.

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