मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(B) $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = \alpha$ होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा

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$12$

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(B) $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = f(0) = \alpha$ होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x ightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 	imes 1^2 = 2$.अतः,$\alpha = 2$.अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{1 - \cos x}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2 \sin^2 (x/2)}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} |\sin(x/2)|}{x}$.चूंकि $x > 0$,इसलिए $\sin(x/2) > 0$,अतः $|\sin(x/2)| = \sin(x/2)$.$\lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{2(x/2)} = \frac{\beta \sqrt{2}}{2} = \frac{\beta}{\sqrt{2}}$.इसे $\alpha = 2$ के बराबर रखने पर,$\frac{\beta}{\sqrt{2}} = 2$,जिसका अर्थ है $\beta = 2\sqrt{2}$.अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4 + 8 = 12$.

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