माना P रेखाओं frac{x-2}{1}=frac{y-4}{5}=frac{ | vedclass

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Question

(C) माना पहली रेखा $L_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-2}{1}=\lambda$ है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $P(\lambda+2, 5\lambda+4, \lambda+2)$ है।माना दू

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$\frac{3 \sqrt{14}}{7}$

Vedclass · Answer

(C) माना पहली रेखा $L_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-2}{1}=\lambda$ है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $P(\lambda+2, 5\lambda+4, \lambda+2)$ है।माना दूसरी रेखा $L_2: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{2}=\mu$ है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $P(2\mu+3, 3\mu+2, 2\mu+3)$ है।प्रतिच्छेदन के लिए,$\lambda+2 = 2\mu+3$ और $5\lambda+4 = 3\mu+2$.पहले समीकरण से,$\lambda = 2\mu+1$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $5(2\mu+1)+4 = 3\mu+2 \implies 10\mu+9 = 3\mu+2 \implies 7\mu = -7 \implies \mu = -1$.तब $\lambda = 2(-1)+1 = -1$. प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(1, -1, 1)$ है।रेखा $L_3$ $4x=2y=z$ है,जिसे $\frac{x}{1/4} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{1}$ या $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{4} = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।$L_3$ पर कोई भी बिंदु $Q$ $(k, 2k, 4k)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (k-1, 2k+1, 4k-1)$ है।चूंकि $\vec{PQ}$ $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 2, 4)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$.$(k-1)(1) + (2k+1)(2) + (4k-1)(4) = 0 \implies k-1 + 4k+2 + 16k-4 = 0 \implies 21k - 3 = 0 \implies k = \frac{1}{7}$.बिंदु $Q$ $(\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$ है।दूरी $PQ = \sqrt{(1-\frac{1}{7})^2 + (-1-\frac{2}{7})^2 + (1-\frac{4}{7})^2} = \sqrt{(\frac{6}{7})^2 + (-\frac{9}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2} = \sqrt{\frac{36+81+9}{49}} = \sqrt{\frac{126}{49}} = \frac{\sqrt{9 	imes 14}}{7} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$.

माना $P$ रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-2}{1}$ और $\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। तब,रेखा $4x=2y=z$ से $P$ की न्यूनतम दूरी है

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