ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (2x ln x) frac{d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$ છે.$(2x \ln x)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{3}{2x^2}

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{3}{e}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$ છે.$(2x \ln x)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{3}{2x^2}$ મળે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \ln x}$ અને $Q = \frac{3}{2x^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \ln x = \int \frac{3}{2x^2} \ln x dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \ln x \cdot (\frac{3}{2} x^{-2}) dx = \ln x \cdot (-\frac{3}{2x}) - \int \frac{1}{x} (-\frac{3}{2x}) dx = -\frac{3 \ln x}{2x} + \frac{3}{2} \int x^{-2} dx = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} + C$.આપેલ છે કે $y(e^{-1}) = 0$,તેથી $0 \cdot \ln(e^{-1}) = -\frac{3 \ln(e^{-1})}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C$.$0 = -\frac{3(-1)}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C \Rightarrow 0 = \frac{3e}{2} - \frac{3e}{2} + C \Rightarrow C = 0$.આમ,$y \ln x = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} \Rightarrow y = -\frac{3}{2x} - \frac{3}{2x \ln x}$.$x = e$ માટે,$y(e) = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e \ln e} = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e} = -\frac{6}{2e} = -\frac{3}{e}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$,$x > 0$ અને $y(e^{-1}) = 0$ નો ઉકેલ છે. તો,$y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $y'' - 3y' + 2y = 0$ જ્યાં $y(0) = 1$ અને $y'(0) = 0$ હોય, તો $x = \log_{e} 2$ પર $y$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y=\sin x+A \cos x$ એ $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ હોય, તો વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module