मान लीजिए A, B और C परवलय y^2=6x पर तीन बिंदु | vedclass

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Question

(B) परवलय $y^2=4ax$ के लिए,$4a=6$,इसलिए $a=\frac{3}{2}$ है। मान लीजिए बिंदु $A, B, C$ क्रमशः $(at_1^2, 2at_1), (at_2^2, 2at_2), (at_3^2, 2at_3)$ हैं।र

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(B) परवलय $y^2=4ax$ के लिए,$4a=6$,इसलिए $a=\frac{3}{2}$ है। मान लीजिए बिंदु $A, B, C$ क्रमशः $(at_1^2, 2at_1), (at_2^2, 2at_2), (at_3^2, 2at_3)$ हैं।रेखा $L$,$C$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y=2at_3$ है।रेखा $AB$ का समीकरण $y(t_1+t_2)=2x+2at_1t_2$ है।बिंदु $D$,$AB$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $2at_3(t_1+t_2)=2x_D+2at_1t_2$,जिससे $x_D=a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2)$ प्राप्त होता है।$AM = |2at_1 - 2at_3| = |2a(t_1-t_3)|$.$BN = |2at_2 - 2at_3| = |2a(t_2-t_3)|$.$CD = |x_D - at_3^2| = |a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2-t_3^2)| = a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|$.अतः,$\frac{AM \cdot BN}{CD} = \frac{|2a(t_1-t_3)| \cdot |2a(t_2-t_3)|}{a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|} = 4a$.चूंकि $a=\frac{3}{2}$ है,इसलिए $4a = 4 	imes \frac{3}{2} = 6$ है।अतः,$\left(\frac{AM \cdot BN}{CD}ight)^2 = 6^2 = 36$।

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