ધારો કે $A, B, C$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત સંકર સંખ્યાઓના ત્રણ ગણ છે:
$A = \{z : \operatorname{Im}(z) \geq 1\}$
$B = \{z : |z - 2 - i| = 3\}$
$C = \{z : \operatorname{Re}((1 - i)z) = \sqrt{2}\}$
$1.$ ગણ $A \cap B \cap C$ માં ઘટકોની સંખ્યા છે:
$(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) \infty$
$2.$ ધારો કે $z$ એ $A \cap B \cap C$ માં કોઈ બિંદુ છે. તો,$|z + 1 - i|^2 + |z - 5 - i|^2$ ની વચ્ચે આવે છે:
$(A) 25 \text{ અને } 29, (B) 30 \text{ અને } 34, (C) 35 \text{ અને } 39, (D) 40 \text{ અને } 44$
$3.$ ધારો કે $z$ એ $A \cap B \cap C$ માં કોઈ બિંદુ છે અને $w$ એ $|w - 2 - i| < 3$ નું પાલન કરતું કોઈ બિંદુ છે. તો,$|z| - |w| + 3$ ની વચ્ચે આવે છે:
$(A) -6 \text{ અને } 3, (B) -3 \text{ અને } 6, (C) -6 \text{ અને } 6, (D) -3 \text{ અને } 9$

(B, C, D) $1.$ $A$ એ $y \geq 1$ પ્રદેશ દર્શાવે છે. $B$ એ $(2, 1)$ કેન્દ્ર અને $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. $C$ એ રેખા $\operatorname{Re}((1-i)(x+iy)) = x+y = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળના સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ માં $y = \sqrt{2}-x$ મૂકતા $(x-2)^2 + (\sqrt{2}-x-1)^2 = 9$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 - (2+2\sqrt{2})x - 2 - 2\sqrt{2} = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $y \geq 1$ હોય તેવું એક બિંદુ મળે છે. તેથી,ઘટકોની સંખ્યા $1$ છે.
$2.$ ધારો કે $z = x+iy$. પદાવલિ $|(x+1)+i(y-1)|^2 + |(x-5)+i(y-1)|^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 + (x-5)^2 + (y-1)^2$ છે.
$z$ એ વર્તુળ $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ પર હોવાથી,$(y-1)^2 = 9 - (x-2)^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,પદાવલિ $36$ થાય છે.
$36$ એ $35$ અને $39$ ની વચ્ચે હોવાથી,જવાબ $(C)$ છે.
$3.$ $|z-2-i|=3$ અને $|w-2-i| < 3$ હોવાથી,ત્રિકોણ અસમતા મુજબ $|z-w| < 6$ થાય.
$||z|-|w|| \leq |z-w|$ નો ઉપયોગ કરતા,$-6 < |z|-|w| < 6$ મળે.
$3$ ઉમેરતા,$-3 < |z|-|w|+3 < 9$ મળે છે.