माना alpha, beta in R इस प्रकार हैं कि lim _{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$.$\sin(x)$ और $\sin(\beta x)$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग कर

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$7$

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(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$.$\sin(x)$ और $\sin(\beta x)$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\beta x - \frac{\beta^3 x^3}{6} + \dots)}{\alpha x - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)} = 1$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{(\alpha - 1)x + \frac{x^3}{6} - \dots} = 1$सीमा के अस्तित्व के लिए,हर में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अतः $\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.$\alpha = 1$ रखने पर:$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{\frac{x^3}{6} - \dots} = 1$अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:$\frac{\beta}{1/6} = 1$ $\Rightarrow 6\beta = 1$ $\Rightarrow \beta = \frac{1}{6}$.अतः,$6(\alpha + \beta) = 6(1 + \frac{1}{6}) = 7$.

माना $\alpha, \beta \in R$ इस प्रकार हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$ है। तब $6(\alpha+\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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