ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ અને $g: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેયો છે જેથી $f^{\prime \prime}$ અને $g^{\prime \prime}$ એ $R$ પર સતત વિધેયો છે. ધારો કે $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$,$f^{\prime \prime}(2) \neq 0$ અને $g^{\prime}(2) \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$ હોય,તો:

જો $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x - 1, & -1 \le x \le 2 \\ 37 - x, & 2 < x \le 3 \end{cases}$,તો:

ધારો કે $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ દરેક $x \in (0, \pi)$ માટે. જો $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ દરેક $x \in (0, \pi)$ માટે
$(C)$ એવો $\alpha \in (0, \pi)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

ધારો કે $y = f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$. તો નીચેનામાંથી કયો આલેખ $y = f(x)$ ને શ્રેષ્ઠ રીતે રજૂ કરે છે?

જો $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) + \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $\frac{dy}{dx} = $

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?