જો $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x - 1, & -1 \le x \le 2 \\ 37 - x, & 2 < x \le 3 \end{cases}$,તો:

વિધેય $f(x) = \begin{cases} e^{2x} - 1, & x \le 0 \\ ax + \frac{bx^2}{2} - 1, & x > 0 \end{cases}$ એ કઈ કિંમતો માટે સતત અને વિકલનીય છે?

ધારો કે $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ જ્યાં $|x| > 1$. જો $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ અને $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $y(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x)$ ના નીચે મુજબના ગુણધર્મો આપેલ છે:
$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબની સંખ્યા રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે:
$f'(x)$ એ $x < -5$ માટે ધન છે,$-5 < x < 2$ માટે ઋણ છે,$2 < x < 4$ માટે ધન છે,અને $x > 4$ માટે ઋણ છે.
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પર,આપણી પાસે છે:

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ એક બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(3) = 18$, $f'(3) = 0$, અને $f''(3) = 4$ થાય. તો $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = |x|$ એ $x = 0$ આગળ કેવું છે?