વિધેય $f(x) = \begin{cases} e^{2x} - 1, & x \le 0 \\ ax + \frac{bx^2}{2} - 1, & x > 0 \end{cases}$ એ કઈ કિંમતો માટે સતત અને વિકલનીય છે?

વિધેય $f(x) = x \cos x - \sin x$ ધ્યાનમાં લો. સાચું વિધાન ઓળખો.

જો $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} (5 + |1-t|) \, dt, & x > 2 \\ 5x + 1, & x \leq 2 \end{cases}$,હોય તો:

વિધેય $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(C)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(D)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$3.$ ધારો કે $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ધન અને $(0, \infty)$ પર ઋણ છે
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ઋણ અને $(0, \infty)$ પર ધન છે
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ અને $(0, \infty)$ બંને પર ચિહ્ન બદલે છે
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચિહ્ન બદલતું નથી
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $f: (-\infty, \infty) - \{0\} \rightarrow R$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$ થાય. તો $\lim_{a \rightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) + a^2 - 2 \log_e a \right]$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$ હોય,તો $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.