मान लीजिए ell_1 और ell_2 रेखाएँ vec{r}_1=lamb | vedclass

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Question

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \vec{r}_1 = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $L_2: \vec{r}_2 = (\hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{k})$ हैं।$L_1$ को समाहि

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$(P) \rightarrow (5), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (1)$

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(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \vec{r}_1 = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $L_2: \vec{r}_2 = (\hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{k})$ हैं।$L_1$ को समाहित करने वाला कोई भी समतल $H$ मूल बिंदु $(0,0,0)$ से होकर गुजरता है और इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$L_1$ के दिशा सदिश $(1,1,1)$ के लंबवत होता है। मान लीजिए समतल $ax+by+cz=0$ है,जहाँ $a+b+c=0$ है।$L_2$ से $H$ की दूरी $d(H)$ केवल तभी गैर-शून्य होती है यदि $L_2$,$H$ के समानांतर हो। यदि $L_2$,$H$ के समानांतर नहीं है,तो दूरी $0$ है। $d(H)$ को अधिकतम करने के लिए,$L_2$ को $H$ के समानांतर होना चाहिए। अतः,अभिलंब $\vec{n} = (a,b,c)$ को $L_2$ के दिशा सदिश $(1,0,1)$ के लंबवत होना चाहिए।इसलिए,$a+c=0$ है। चूँकि $a+b+c=0$ और $a+c=0$ है,हमें $b=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $a=1$,तो $c=-1$ है। समतल $H_0$,$x-z=0$ है।$(P)$ $d(H_0)$,$L_2$ पर किसी भी बिंदु (उदाहरण के लिए,$(0,1,-1)$) से $H_0$ की दूरी है: $d = \frac{|0 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः,$P \rightarrow 5$।$(Q)$ $(0,1,2)$ की $x-z=0$ से दूरी $\frac{|0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है। अतः,$Q \rightarrow 4$।$(R)$ चूँकि $H_0$,$x-z=0$ है,यह मूल बिंदु $(0,0,0)$ से होकर गुजरता है। इसलिए,दूरी $0$ है। $R \rightarrow 3$।$(S)$ $y=z, x=1, x-z=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x=1$ और $x-z=0$ से,$z=1$ है। $y=z$ से,$y=1$ है। बिंदु $(1,1,1)$ है। मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ है। अतः,$S \rightarrow 1$।इसलिए,सही मिलान $(P) \rightarrow (5), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (1)$ है।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $d(H_0)$ का मान है	$(1)$ $\sqrt{3}$
$(Q)$ बिंदु $(0,1,2)$ की $H_0$ से दूरी है	$(2)$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
$(R)$ मूल बिंदु की $H_0$ से दूरी है	$(3)$ $0$
$(S)$ मूल बिंदु की समतलों $y=z, x=1$ और $H_0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी है	$(4)$ $\sqrt{2}$
	$(5)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$

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यदि बिंदु $(2,-3,4)$ से गुजरने वाले और दोनों समतलों $2x-3y+5z=2$ तथा $x+y+2z=3$ के लंबवत समतल का समीकरण $x+py+qz=r$ है, तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $r = (-\hat{i} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ और समतल $r \cdot (10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}) = 3$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

रेखा $r = 2i - 2j + 3k + \lambda (i - j + 4k)$ और समतल $r \cdot (i + 5j + k) = 5$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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