मान लीजिए f: R rightarrow R एक ऐसा फलन है कि | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।चू

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है

Vedclass · Answer

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (जहाँ $k$ एक अचर है)।अब,किसी भी $x \in R$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$।चूंकि $f^{\prime}(x) = k$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ एक अचर फलन है।$f^{\prime}(x) = k$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = kx + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(0)=0$,इसलिए $C=0$,अतः $f(x) = kx$।एक रैखिक फलन $f(x) = kx$ सभी $x \in R$ के लिए सतत और अवकलनीय होता है।अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

Similar Questions

मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{R}$ है। यदि $f(x) = ax^2 + bx + c$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 3$ और $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, \forall x, y \in \mathbb{R}$,तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है और यदि $f^{\prime}(4)=24$ और $f^{\prime}(0)=3$ है,तो $f(4)=$

यदि एक फलन $f(x)$ सभी $x, y \in N$ के लिए $f(x + y) = f(x) f(y)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1) = 3$ और $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$ है,तो $n$ का मान क्या होगा?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module