मान लीजिए f: R rightarrow R एक ऐसा फलन है कि | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$। यह कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि सभी $x \in Q$ के लिए $f(x)=ax$ है।दिया गया है कि $f\left(\frac

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$51$

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(C) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$। यह कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि सभी $x \in Q$ के लिए $f(x)=ax$ है।दिया गया है कि $f\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,इसलिए $a\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,जिसका अर्थ है कि $a=-20$। अतः,$f(x)=-20x$ है।इसलिए $f\left(\frac{1}{4}\right)=-20\left(\frac{1}{4}\right)=-5$ है।दिया गया है कि $g(x+y)=g(x)g(y)$,जो दर्शाता है कि किसी $b>0$ के लिए $g(x)=b^x$ है।दिया गया है कि $g\left(\frac{-1}{3}\right)=2$,इसलिए $b^{-1/3}=2$,जिसका अर्थ है कि $b^{-1}=2^3=8$,इसलिए $b=\frac{1}{8}$ है।अतः,$g(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^x=8^{-x}=2^{-3x}$ है।इसलिए $g(-2)=2^{-3(-2)}=2^6=64$ है।साथ ही,$g(0)=b^0=1$ है।इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\left(f\left(\frac{1}{4}\right)+g(-2)-8\right)g(0) = (-5+64-8)(1) = 51$।

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