मान लीजिए कि Gamma एक वक्र y = y(x) को दर्शात | vedclass

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Question

(B) वक्र $\Gamma$ के बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=y^{\prime}(X-x)$ है।$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$X=0$ रखें: $Y_p = y - xy^{\

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$1,2$

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(B) वक्र $\Gamma$ के बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=y^{\prime}(X-x)$ है।$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$X=0$ रखें: $Y_p = y - xy^{\prime}$.बिंदु $Y_p$ निर्देशांक $(0, y-xy^{\prime})$ है। $PY_p$ की दूरी $1$ दी गई है,इसलिए $(x, y)$ और $(0, y-xy^{\prime})$ के बीच की दूरी $1$ है।$\sqrt{(x-0)^2 + (y - (y-xy^{\prime}))^2} = 1$$\sqrt{x^2 + (xy^{\prime})^2} = 1 \Rightarrow x^2 + x^2(y^{\prime})^2 = 1$$(y^{\prime})^2 = \frac{1-x^2}{x^2} \Rightarrow y^{\prime} = \pm \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.चूंकि वक्र प्रथम चतुर्थांश में है और $(1,0)$ से गुजरता है,ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए। अतः,$y^{\prime} = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.यह अवकल समीकरण $xy^{\prime} + \sqrt{1-x^2} = 0$ देता है,जो विकल्प $(2)$ से मेल खाता है।$dy = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx$ का समाकलन करने पर:$x = \sin	heta$ रखें,तो $dx = \cos	heta d	heta$.$y = -\int \frac{\cos^2	heta}{\sin	heta} d	heta = \int \sin	heta d	heta - \int \csc	heta d	heta$$y = -\cos	heta - \ln|\csc	heta - \cot	heta| + C = -\sqrt{1-x^2} - \ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}ight| + C$$y(1)=0$ का उपयोग करने पर,$C=0$ प्राप्त होता है। सरल करने पर,$y = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}ight) - \sqrt{1-x^2}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $(1)$ से मेल खाता है।

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