मान लीजिए f : R rightarrow R और g : R rightar | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)	ext{।}$ दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर $1 + f(x+y) = (1 + f(x))(1 + f(y))$ प्राप्त होता है।मान लीजिए

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$A, B, D$

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(B) दिया गया है $f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)	ext{।}$ दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर $1 + f(x+y) = (1 + f(x))(1 + f(y))$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $h(x) = 1 + f(x)	ext{।}$ तब $h(x+y) = h(x)h(y)	ext{।}$चूंकि $f(x) = xg(x)$ और $\lim_{x 	o 0} g(x) = 1$,हमारे पास $\lim_{x 	o 0} f(x) = 0$ है,इसलिए $h(0) = 1 + f(0) = 1	ext{।}$$h(x+y) = h(x)h(y)$ के लिए,हल $h(x) = e^{cx}$ है।अतः $1 + f(x) = e^{cx}$,या $f(x) = e^{cx} - 1	ext{।}$दिया गया है $f(x) = xg(x)$,हमारे पास $g(x) = \frac{e^{cx}-1}{x}$ है।$\lim_{x 	o 0} g(x) = \lim_{x 	o 0} \frac{e^{cx}-1}{x} = c	ext{।}$चूंकि $\lim_{x 	o 0} g(x) = 1$,हमारे पास $c = 1$ है।इसलिए,$f(x) = e^x - 1	ext{।}$$f'(x) = e^x$,जो सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $(A)$ $TRUE$ है।$f'(0) = e^0 = 1$,इसलिए $(D)$ $TRUE$ है।$f'(1) = e^1 = e 
eq 1$,इसलिए $(C)$ $FALSE$ है।$g(x) = \frac{e^x-1}{x}$ के लिए जब $x 
eq 0$ और $g(0)=1$,$g$ सभी $x 
eq 0$ पर अवकलनीय है। $x=0$ पर,$g'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{\frac{e^h-1}{h}-1}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{e^h-1-h}{h^2} = \frac{1}{2}$। अतः $g$ हर जगह अवकलनीय है,इसलिए $(B)$ $TRUE$ है।

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