ધારો કે $S=S_1 \cap S_2 \cap S_3$,જ્યાં $S_1=\{z \in \mathbb{C}:|z|<4\}$,$S_2=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}[\frac{z-1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}]>0\}$,અને $S_3=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re} z>0\}$.
$1.$ $S$ નું ક્ષેત્રફળ $=$
$(A) \frac{10 \pi}{3} \quad (B) \frac{20 \pi}{3} \quad (C) \frac{16 \pi}{3} \quad (D) \frac{32 \pi}{3}$
$2.$ $\min _{z \in S}|1-3 i-z|=$
$(A) \frac{2-\sqrt{3}}{2} \quad (B) \frac{2+\sqrt{3}}{2} \quad (C) \frac{3-\sqrt{3}}{2} \quad (D) \frac{3+\sqrt{3}}{2}$

(B,C) $1.$ $S_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r=4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
$S_2: \operatorname{Im}[\frac{(x-1)+i(y+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}] > 0 \implies \operatorname{Im}[\frac{(x-1+i(y+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3} i)}{4}] > 0$
$\implies (x-1)\sqrt{3} + (y+\sqrt{3}) > 0 \implies \sqrt{3}x + y > 0$.
$S_3: x > 0$.
પ્રદેશ $S$ એ ડિસ્ક $x^2+y^2 < 16$,અર્ધ-સમતલ $y > -\sqrt{3}x$,અને અર્ધ-સમતલ $x > 0$ નો છેદ છે. આ $\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$ રેડિયન ખૂણા સાથેનો વર્તુળાકાર સેક્ટર બનાવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$.
$2.$ આપણે બિંદુ $P(1, -3)$ થી પ્રદેશ $S$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાની જરૂર છે. $S$ ની સીમામાં $x > 0$ માટે રેખા $y = -\sqrt{3}x$ નો સમાવેશ થાય છે.
$(1, -3)$ થી રેખા $\sqrt{3}x + y = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|\sqrt{3}(1) + (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}-3|}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ છે.