मान लीजिए f : R rightarrow R एक सतत विषम फलन | vedclass

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Question

(B) चूंकि $f$ एक विषम फलन है,$f(-t) = -f(t)$।$F(1) = \int_{-1}^1 f(t) dt = 0$ क्योंकि एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है।$G(1

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$7$

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(B) चूंकि $f$ एक विषम फलन है,$f(-t) = -f(t)$।$F(1) = \int_{-1}^1 f(t) dt = 0$ क्योंकि एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है।$G(1) = \int_{-1}^1 t|f(f(t))| dt = 0$ क्योंकि समाकल्य $h(t) = t|f(f(t))|$ एक विषम फलन है $(h(-t) = -t|f(f(-t))| = -t|f(-f(t))| = -t|f(f(t))| = -h(t))$।सीमा $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)}$ के लिए $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए:$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F'(x)}{G'(x)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x|f(f(x))|} = \frac{f(1)}{1 \cdot |f(f(1))|} = \frac{1/2}{|f(1/2)|} = \frac{1}{14}$।अतः,$|f(1/2)| = 7$। चूंकि $f$ एक सतत विषम फलन है जो केवल एक बिंदु $(x=0)$ पर शून्य होता है और $f(1) = 1/2 > 0$ है,इसलिए $x > 0$ के लिए $f(x)$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,$f(1/2) = 7$।

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मान लीजिए $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ और $f$ एक सतत फलन है ताकि $f(2x) = f(x)$ हो। तो:

द्वि-अवकलनीय फलन $f(x) = \int_{0}^{x} e^{x-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x, x \in R$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx = ka^4$ है, तो $k : \pi =$ क्या होगा ($:8$ में)?

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_a^x {t^3 e^t \, dt}$ है,तो $\frac{d}{dx} f(x) = $

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