ધારો કે x = x(y) એ વિકલ સમીકરણ y^2 dx + (x - | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે. $y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે. આ $\frac

Vedclass · Accepted Answer

$3 - e$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે. $y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે. આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int y^{-2} dy} = e^{-1/y}$ છે. ઉકેલ $x \cdot e^{-1/y} = \int Q(y) \cdot e^{-1/y} dy + C$ છે. ધારો કે $t = -1/y$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$. $x \cdot e^{-1/y} = \int (-t) e^t dt + C = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$. $t = -1/y$ મૂકતા,$x \cdot e^{-1/y} = e^{-1/y}(1 + \frac{1}{y}) + C$ મળે. $x(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C$,તેથી $e^{-1} = 2e^{-1} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -e^{-1}$. આમ,$x = 1 + \frac{1}{y} - e^{1/y} \cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{y} - e^{(1/y) - 1}$. $y = 1/2$ માટે,$x = 1 + \frac{1}{1/2} - e^{(1/(1/2)) - 1} = 1 + 2 - e^{2-1} = 3 - e$.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ નો ઉકેલ છે. જો $x(1) = 1$ હોય,તો $x(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + x \sin^2 y = \sin y \cos y$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

નીચેના વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,આપેલ છે કે $y=1$ જ્યારે $x=0$: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$, $y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module