ધારો કે x = x(y) એ વિકલ સમીકરણ 2y^2 frac{dx}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2 y^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}e^2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2 y^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે છે.ધારો કે $u = \frac{1}{x}$, તો $\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $-2 \frac{du}{dy} - \frac{2u}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે, જેનું સાદું રૂપ $\frac{du}{dy} + \frac{u}{y} = \frac{1}{2y^2}$ થાય છે.આ $\frac{du}{dy} + P(y)u = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int (1/y) dy} = e^{\log_e y} = y$.વ્યાપક ઉકેલ $u \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + C$ છે, તેથી $uy = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y \, dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \log_e y + C$.આપેલ છે કે $x(e) = e$, તેથી $y = e$ માટે $u = 1/e$. આ કિંમતો મૂકતા: $(1/e) \cdot e = \frac{1}{2} \log_e e + C \Rightarrow 1 = 1/2 + C \Rightarrow C = 1/2$.આમ, $u = \frac{\log_e y + 1}{2y}$. કારણ કે $u = 1/x$, તેથી $x = \frac{2y}{\log_e y + 1}$.$y = e^2$ માટે, $x(e^2) = \frac{2e^2}{\log_e e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3}e^2$.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$, $y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

સમીકરણ $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

સમીકરણ $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0, (y>0)$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module