ધારો કે vec{c} એ સદિશ vec{a}=hat{i}+2 hat{j}+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) સદિશ $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

Vedclass · Accepted Answer

$16$

Vedclass · Answer

(A) સદિશ $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} ight) \vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.અહીં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$.$\vec{b} \cdot \vec{a} = (\lambda \hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \lambda + 8$.તેથી,$\vec{c} = \frac{\lambda + 8}{9} (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{c}| = 7$. કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે,ધારો કે $\vec{c} = k\vec{a}$,જ્યાં $k = \frac{\lambda + 8}{9}$.તેથી $|\vec{a} + k\vec{a}| = |(1+k)\vec{a}| = |1+k| |\vec{a}| = |1+k| \cdot 3 = 7$.$|1+k| = \frac{7}{3} \Rightarrow 1+k = \frac{7}{3}$ (કારણ કે $\lambda > 0, k > 0$).$k = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\lambda + 8}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow \lambda + 8 = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.હવે,$\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{k}$ અને $\vec{c} = \frac{4}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}$.$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{b} 	imes \vec{c}|$ છે.કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ પર $\vec{b}$ નો પ્રક્ષેપ છે,$\vec{c} = k\vec{a}$.$|\vec{b} 	imes \vec{c}| = |\vec{b} 	imes k\vec{a}| = |k| |\vec{b} 	imes \vec{a}|$.$\vec{b} 	imes \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & 0 & 4 \ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(8-0) = -8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k}$.$|\vec{b} 	imes \vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12$.ક્ષેત્રફળ $= |k| \cdot 12 = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$.

Similar Questions

સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધો.

સદિશો $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ વચ્ચેના ખૂણાનો સાઈન (sine) શોધો.

સદિશ $\vec{a} + 3\vec{b}$ એ $7\vec{a} - 5\vec{b}$ ને લંબ છે અને $\vec{a} - 5\vec{b}$ એ $7\vec{a} + 3\vec{b}$ ને લંબ છે. શૂન્યતર સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module