मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जैसे कि 2(x+2)^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$. $x=0$ पर,$2(2)^2 f(0) - 3(2)^2 = 0 \implies 8 f(0) = 12 \implies f(0) = \

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$19$

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(A) दिया गया समीकरण: $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$. $x=0$ पर,$2(2)^2 f(0) - 3(2)^2 = 0 \implies 8 f(0) = 12 \implies f(0) = \frac{3}{2}$. लेबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $4(x+2) f(x) + 2(x+2)^2 f'(x) - 6(x+2) = 10(x+2) f(x)$. $2(x+2)$ से विभाजित करने पर: $2 f(x) + (x+2) f'(x) - 3 = 5 f(x)$. $(x+2) f'(x) - 3 f(x) = 3$. यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{df}{dx} - \frac{3}{x+2} f = \frac{3}{x+2}$. समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{3}{x+2} dx} = (x+2)^{-3}$. $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} [f(x) (x+2)^{-3}] = 3(x+2)^{-4}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) (x+2)^{-3} = -(x+2)^{-3} + C$. $f(x) = -1 + C(x+2)^3$. $f(0) = \frac{3}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{3}{2} = -1 + 8C \implies C = \frac{5}{16}$. अतः,$f(x) = \frac{5}{16}(x+2)^3 - 1$. $f(2) = \frac{5}{16}(4)^3 - 1 = 20 - 1 = 19$.

मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$,$x \geq 0$ के लिए। तो $f(2)$ का मान . . . . . . है।

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