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Question

(B) दिया गया है $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$। दोनों पक्षों को $f^{\prime}(x)$ से गुणा करने पर,हमें $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(

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(B) दिया गया है $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$। दोनों पक्षों को $f^{\prime}(x)$ से गुणा करने पर,हमें $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^2 = \frac{1}{2}(f(x))^2 + C$ प्राप्त होता है।प्रारंभिक शर्तों $f(0) = 0$ और $f^{\prime}(0) = 3$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2}(3)^2 = \frac{1}{2}(0)^2 + C$,जिससे $C = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$(f^{\prime}(x))^2 = (f(x))^2 + 9$। चूंकि $f^{\prime}(x) \geq 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) = \sqrt{(f(x))^2 + 9}$ है।चरों को अलग करने पर,$\int \frac{df}{\sqrt{f^2 + 9}} = \int dx$,जो $\ln|f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9}| = x + C_1$ देता है।$f(0) = 0$ का उपयोग करने पर,$\ln|0 + \sqrt{0 + 9}| = 0 + C_1$,जिससे $C_1 = \ln 3$ प्राप्त होता है।इसलिए,$f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9} = 3e^x$।मान लीजिए $y = f(x)$। तो $\sqrt{y^2 + 9} = 3e^x - y$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 + 9 = 9e^{2x} - 6ye^x + y^2$,जो सरल होकर $6ye^x = 9e^{2x} - 9$ हो जाता है।अतः,$f(x) = \frac{9(e^{2x} - 1)}{6e^x} = \frac{3}{2}(e^x - e^{-x}) = 3\sinh(x)$।$x = \ln 3$ पर,$f(\ln 3) = \frac{3}{2}(3 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3}) = 4$।अतः,$9f(\ln 3) = 9 	imes 4 = 36$।

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