माना g एक अवकलनीय फलन है ताकि int_0^x g(t) dt | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g(x) = 1 - xg(x)$। अतः $g(x)(1+x) = 1$,जिसस

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$\frac{4 \pi}{3}$

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(B) दिया गया है $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g(x) = 1 - xg(x)$। अतः $g(x)(1+x) = 1$,जिससे $g(x) = \frac{1}{1+x}$ प्राप्त होता है। अब $g(x)$ का मान अवकल समीकरण में रखने पर: $\frac{dy}{dx} - y 	an x = 2(x+1) \sec x \cdot \frac{1}{1+x} = 2 \sec x$। यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int -	an x dx} = \cos x$ है। समीकरण का हल $y \cos x = \int 2 \sec x \cdot \cos x dx + C = \int 2 dx + C = 2x + C$ है। $y(0) = 0$ होने के कारण,$C = 0$ प्राप्त होता है। अतः $y = 2x \sec x$। $x = \frac{\pi}{3}$ पर,$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{4 \pi}{3}$।

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यदि अवकल समीकरण $x y^{\prime}=y+x^2 \sin x$ का हल, $y(\pi)=0$ की शर्त के अधीन $y=f(x)$ है और $f(x)$ का $x=\alpha$ पर चरम मान (extreme value) है, तो

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + ay = e^{mx}$ का हल है

अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

निम्नलिखित में से कौन सा/से समीकरण रैखिक है/हैं?

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