मान लीजिए कि y=y(x) समीकरण frac{dy}{dx}-|A|=0 | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:$|A| = y(-1 \cdot \frac{1}{x} - 0) - \sin x(0 \cdot \frac{1}{x} - 2) + 1(0 \cdot 0 - 2(-1))$$|A| = -\frac{y}{x

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$\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}$

Vedclass · Answer

(B) सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:$|A| = y(-1 \cdot \frac{1}{x} - 0) - \sin x(0 \cdot \frac{1}{x} - 2) + 1(0 \cdot 0 - 2(-1))$$|A| = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$दिया गया है $\frac{dy}{dx} - |A| = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$,जिसे $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2 \sin x + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = 2 \sin x + 2$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ है।$yx = \int x(2 \sin x + 2) dx = 2 \int x \sin x dx + \int 2x dx$।खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x$,अतः:$yx = 2(-x \cos x + \sin x) + x^2 + C = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x + C$।$y(\pi) = \pi + 2$ दिया गया है,$x = \pi$ रखने पर:$(\pi + 2)\pi = \pi^2 - 2\pi \cos(\pi) + 2 \sin(\pi) + C$$\pi^2 + 2\pi = \pi^2 + 2\pi + C \Rightarrow C = 0$।अतः,$yx = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x$।$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए:$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = (\frac{\pi}{2})^2 - 2(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2})$$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + 2$।$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}$।

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