यदि $\log y$,$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है,तो $P(y) =$

मान लीजिए $f$ अंतराल $(0, \infty)$ में एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(1)=1$ और प्रत्येक $x>0$ के लिए $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है। तब $2 f(2)+3 f(3)$ का मान .................... है।

यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} = \left(\left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 - y\right) \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$ का हल है,जहाँ $-2 \leq x \leq 2$ और $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ है,तो $y^2(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(0,1)$ से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए। यदि वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल उस बिंदु के $x$ निर्देशांक (भुज) और $x$ निर्देशांक तथा $y$ निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ $(x \neq 0)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

अवकल समीकरण $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)