मान लीजिए A एक 3 times 3 आव्यूह है ताकि |oper | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))|=81$ है। $n 	imes n$ आव्यूह के लिए $|\operatorname{adj} M| = |M|^{

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$732$

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(D) दिया गया है कि $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))|=81$ है। $n 	imes n$ आव्यूह के लिए $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ होता है,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} M| = |M|^2$ होगा। $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))| = (|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|)^2 = ((|\operatorname{adj} A|)^2)^2 = (|\operatorname{adj} A|)^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$। अतः,$|A|^8 = 81 = 3^4$,जिसका अर्थ है $|A| = 3^{4/8} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$। इसलिए,$|A|^2 = 3$। अब,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = (|\operatorname{adj} A|)^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$। दिया गया समीकरण $(|A|^4)^{\frac{(n-1)^2}{2}} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$ है। $|A|^{2(n-1)^2} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$। घातांकों की तुलना करने पर: $2(n^2-2n+1) = 3n^2-5n-4$। $2n^2-4n+2 = 3n^2-5n-4$। $n^2-n-6 = 0$। $(n-3)(n+2) = 0$,इसलिए $n=3$ या $n=-2$। हमें $\sum_{n \in S} |A|^{n^2+n}$ की गणना करनी है। $n=3$ के लिए,$|A|^{3^2+3} = |A|^{12} = (|A|^2)^6 = 3^6 = 729$। $n=-2$ के लिए,$|A|^{(-2)^2+(-2)} = |A|^{4-2} = |A|^2 = 3$। योग $= 729 + 3 = 732$।

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