मान लीजिए {z_1} और {z_2} इकाई के n^{th} मूल ह | vedclass

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Question

(D) इकाई के $n^{th}$ मूल ${z_r} = \cos \frac{2r\pi}{n} + i\sin \frac{2r\pi}{n}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.मान लीजिए ${z_1} = \co

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$4k$

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(D) इकाई के $n^{th}$ मूल ${z_r} = \cos \frac{2r\pi}{n} + i\sin \frac{2r\pi}{n}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.मान लीजिए ${z_1} = \cos \frac{2r_1\pi}{n} + i\sin \frac{2r_1\pi}{n}$ और ${z_2} = \cos \frac{2r_2\pi}{n} + i\sin \frac{2r_2\pi}{n}$.मूल बिंदु पर ${z_1}$ और ${z_2}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बनाया गया कोण $\frac{z_1}{z_2}$ के कोणांक द्वारा दिया जाता है.$	ext{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}ight) = 	ext{arg}(z_1) - 	ext{arg}(z_2) = \frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n}$.चूंकि कोण समकोण है,इसलिए $\frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n} = \pm \frac{\pi}{2}$.इसका अर्थ है $\frac{2(r_1 - r_2)}{n} = \pm \frac{1}{2}$,जो $n = \pm 4(r_1 - r_2)$ में सरल हो जाता है.चूंकि $r_1$ और $r_2$ पूर्णांक हैं,इसलिए $n$ को $4$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $n = 4k$.

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