मान लीजिए f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),जहाँ x in [0,4 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 4]$ पर सतत है और $(0, 4)$ पर अवकलनीय है। $LMVT$ के अ

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$\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$

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(B) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 4]$ पर सतत है और $(0, 4)$ पर अवकलनीय है। $LMVT$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$। सबसे पहले,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 	imes 2 	imes 1 = 6$ की गणना करें। इसके बाद,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 	imes -2 	imes -3 = -6$ की गणना करें। अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$। अब,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 3x^2 - 12x + 11$। $f'(c) = 3$ रखने पर,हमें $3c^2 - 12c + 11 = 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3c^2 - 12c + 8 = 0$ हो जाता है। द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$,जहाँ $x \in [0,4]$ है। यदि लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू किया जा सकता है,तो $c$ के मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। यदि $\alpha = $ है,तो $x \in [0, 1]$ के लिए $f$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।

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