मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (x log x) fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$. दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} +

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$2$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$. दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$. यहाँ,$P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 2$. समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$. व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है: $y \log x = \int 2 \log x dx + C$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log x dx = x \log x - x$: $y \log x = 2(x \log x - x) + C$. चूंकि समीकरण $x \geq 1$ के लिए परिभाषित है,$x=1$ रखने पर,$\log(1)=0$. $y(1) \cdot 0 = 2(1 \cdot 0 - 1) + C \implies 0 = -2 + C \implies C = 2$. अतः,हल $y \log x = 2x \log x - 2x + 2$ है। $y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखने पर: $y(e) \log(e) = 2(e) \log(e) - 2(e) + 2$. चूंकि $\log(e) = 1$: $y(e) \cdot 1 = 2e - 2e + 2 = 2$. इसलिए,$y(e) = 2$.

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ $(x \geq 1)$ का हल है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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