ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x log x) frac{d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$. બંને બાજુ $(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મ

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$. બંને બાજુ $(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મળે છે: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$. અહીં,$P(x) = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q(x) = 2$. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ છે: $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે: $y \log x = \int 2 \log x dx + C$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log x dx = x \log x - x$: $y \log x = 2(x \log x - x) + C$. સમીકરણ $x \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$x=1$ લેતા,$\log(1)=0$. $y(1) \cdot 0 = 2(1 \cdot 0 - 1) + C \implies 0 = -2 + C \implies C = 2$. આમ,ઉકેલ $y \log x = 2x \log x - 2x + 2$ છે. $y(e)$ શોધવા માટે,$x=e$ મૂકતા: $y(e) \log(e) = 2(e) \log(e) - 2(e) + 2$. $\log(e) = 1$ હોવાથી: $y(e) \cdot 1 = 2e - 2e + 2 = 2$. તેથી,$y(e) = 2$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ $(x \geq 1)$ નો ઉકેલ છે,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ, જેનો કોઈ પણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{y}{x + y}$ હોય, તે છે:

વિકલ સમીકરણ $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(\sin y \cos^2 y - x \sec^2 y) dy = (\tan y) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module