मान लीजिए कि M और N बिंदु P(a, a, a) से रेखाओ | vedclass

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Question

(A) रेखा $L_1$ को $x=t, y=t, z=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $M$ $(t, t, 1)$ है। सदिश $\vec{PM} = (t-a, t-a, 1-a)$ है। चूंकि $P

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$1$

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(A) रेखा $L_1$ को $x=t, y=t, z=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $M$ $(t, t, 1)$ है। सदिश $\vec{PM} = (t-a, t-a, 1-a)$ है। चूंकि $PM \perp L_1$,इसलिए $\vec{PM}$ और $L_1$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ का डॉट गुणनफल $0$ है: $(t-a)(1) + (t-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(t-a) = 0 \implies t=a$. अतः,$M = (a, a, 1)$ और $\vec{PM} = (0, 0, 1-a)$.इसी प्रकार,रेखा $L_2$ को $x=s, y=-s, z=-1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $N$ $(s, -s, -1)$ है। सदिश $\vec{PN} = (s-a, -s-a, -1-a)$ है। चूंकि $PN \perp L_2$,इसलिए $\vec{PN}$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, -1, 0)$ का डॉट गुणनफल $0$ है: $(s-a)(1) + (-s-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies s-a + s+a = 0 \implies 2s = 0 \implies s=0$. अतः,$N = (0, 0, -1)$ और $\vec{PN} = (-a, -a, -1-a)$.दिया गया है कि $\angle MPN = 90^{\circ}$,इसलिए डॉट गुणनफल $\vec{PM} \cdot \vec{PN} = 0$: $(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0 \implies -(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2-1 = 0 \implies a^2 = 1$.

मान लीजिए कि $M$ और $N$ बिंदु $P(a, a, a)$ से रेखाओं $L_1: x-y=0, z=1$ और $L_2: x+y=0, z=-1$ पर खींचे गए लंब के पाद हैं। यदि $\angle MPN=90^{\circ}$ है,तो $a^2=$

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रेखाओं $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + \mu(\hat{i})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

$A(-1, 2, -3), B(5, 0, -6), C(0, 4, -1)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं। $\angle BAC$ के आंतरिक समद्विभाजक की दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्कोज्याएँ समीकरणों $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करती हैं।

बिंदु $P(3, 5, 2)$ से बिंदु $2\hat{i} + \hat{j}$ से गुजरने वाली और सदिश $\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ के समांतर रेखा $L$ की लंबवत दूरी है

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