$A(-1, 2, -3), B(5, 0, -6), C(0, 4, -1)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं। $\angle BAC$ के आंतरिक समद्विभाजक की दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

${R^3}$ में निम्नलिखित में से कौन सी रेखा $\vec{r} = (1, 1, 1) + k(2, 3, 4), k \in R$ के संपाती है?

यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{4}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{8}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P$ और $Q$ को $\vec{OP} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{OQ} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ द्वारा दिया गया है। सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ के अनुदिश एक रेखा बिंदु $P$ से गुजरती है और सदिश $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$ के अनुदिश दूसरी रेखा बिंदु $Q$ से गुजरती है। यदि सदिश $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के अनुदिश एक रेखा,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाली दोनों रेखाओं को क्रमशः $L$ और $M$ पर काटती है,तो $\vec{PM} =$

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $M$ तथा $N$ रेखाओं $\frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}$ और $\frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $MN$ दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी है। तो $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$ का मान ज्ञात कीजिए।