मान लीजिए $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\bar{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है। यदि $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ है,तो $|\bar{b}|$ ज्ञात कीजिए।

यदि $a = 3i - 5j$ और $b = 6i + 3j$ दो सदिश हैं और $c$ एक ऐसा सदिश है कि $c = a \times b$,तो $|a|:|b|:|c|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो शून्येतर सदिश हैं जो एक-दूसरे के लंबवत हैं और $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ है। यदि $|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}|$ है,तो सदिशों $(\vec{a}+\vec{b}+(\vec{a} \times \vec{b}))$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण किसके बराबर है?

यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण सदिशों $3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ द्वारा निरूपित किए जाते हैं,तो इसका क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में क्या है?

मान लीजिए $\overline{OA} = \vec{a}$,$\overline{OB} = 10\vec{a} + 2\vec{b}$,और $\overline{OC} = \vec{b}$,जहाँ $O, A, C$ असंरेख हैं। मान लीजिए $p$ चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल है और $q$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है जिसकी आसन्न भुजाएँ $OA$ और $OC$ हैं। तो $p/q = \dots$

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ एक त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $QR, RP, PQ$ की दिशाओं में तीन इकाई सदिश हैं।
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ ज्ञात कीजिए।
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ यदि त्रिभुज $PQR$ बदलता है,तो $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही विकल्प चुनें।