मान लीजिए O मूल बिंदु है और PQR एक स्वेच्छ त् | vedclass

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Question

(C) दी गई शर्त: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrighta

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लंबकेंद्र।

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(C) दी गई शर्त: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OS}$.पहली समानता पर विचार करें: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS}$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS}$.उभयनिष्ठ सदिशों को बाहर निकालने पर: $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = \overrightarrow{OS} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR})$.इसका अर्थ है: $(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS}) \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = 0$.चूंकि $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{SP}$ और $\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{RQ}$,इसलिए हमें $\overrightarrow{SP} \cdot \overrightarrow{RQ} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{QR}$.इसी प्रकार,समानता के अन्य भागों पर विचार करने पर,हमें $\overrightarrow{QS} \perp \overrightarrow{PR}$ और $\overrightarrow{RS} \perp \overrightarrow{PQ}$ प्राप्त होता है।चूंकि $S$ त्रिभुज $PQR$ के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $S$ लंबकेंद्र है।

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