ધારો કે f: mathbb{Z} rightarrow mathbb{Z} એ f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{Z}$ પર $f(x) = x^3 + 2$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:$1$. એક-એક ચકાસણી: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. ત

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક પણ વ્યાપ્ત નથી

Vedclass · Answer

(B) પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{Z}$ પર $f(x) = x^3 + 2$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:$1$. એક-એક ચકાસણી: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $x_1^3 + 2 = x_2^3 + 2$,જેનો અર્થ થાય છે $x_1^3 = x_2^3$. ઘન વિધેય વધતું વિધેય હોવાથી,$x_1 = x_2$ મળે. આમ,$f$ એક-એક છે.$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: $f$ વ્યાપ્ત હોય તે માટે,દરેક $y \in \mathbb{Z}$ માટે,એવો $x \in \mathbb{Z}$ મળવો જોઈએ કે જેથી $y = x^3 + 2$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે $x^3 = y - 2$,અથવા $x = \sqrt[3]{y - 2}$. $x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$y - 2$ એ પૂર્ણઘન હોવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે,જો $y = 3$ હોય,તો $x^3 = 3 - 2 = 1$,તેથી $x = 1 \in \mathbb{Z}$. જોકે,જો $y = 0$ હોય,તો $x^3 = 0 - 2 = -2$. $-2$ એ કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો પૂર્ણઘન નથી,તેથી એવો કોઈ $x \in \mathbb{Z}$ નથી કે જેથી $f(x) = 0$ થાય. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.નિષ્કર્ષ: $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

ધારો કે $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ એ $f(x) = x^3 + 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$f$ એ . . . . . . છે.

Similar Questions

$f: R-\{1\} \rightarrow R-\{2\}$ માટે, $f(x)=\frac{2x}{x-1}$ દ્વારા આપેલ વિધેય માટે નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $f(x) = \begin{cases} [x], & -3 < x \leq -1 \\ |x|, & -1 < x < 1 \\ |[x]|, & 1 \leq x < 3 \end{cases}$ હોય, તો ગણ $\{x : f(x) \geq 0\}$ કોના બરાબર છે?

જો વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = |x|(x - \sin x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?

વિધેય $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ જે $f(x) = x^2 + x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે:

$f: N \rightarrow N$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x)=x^{2}$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module