मान लीजिए a, b और c एक विषमबाहु त्रिभुज की भु | vedclass

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Question

(A) चूँकि दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\la

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$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right)$

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(A) चूँकि दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\lambda(ab+bc+ca)) \geq 0$$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$$(a+b+c)^2 \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$$\lambda \leq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}$एक विषमबाहु त्रिभुज के लिए,हम जानते हैं कि $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ होता है।इसका विस्तार करने पर,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$,अतः $a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca$।दोनों पक्षों में $2(ab+bc+ca)$ जोड़ने पर,हमें $(a+b+c)^2 > 3(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} > 1$।साथ ही,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$(a+b+c)^2 इसलिए $\lambda$ का अंतराल $\left(-\infty, \frac{4}{3}\right)$ है।

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